Le rivoluzioni matematiche del ‘900

Tra gli innumerevoli eventi che si sono susseguiti nella storia della scienza certamente la riscoperta della Logica matematica effettuata prima da Husserl e poi da Russell e Gödel è una delle più grandi rivoluzioni scientifiche del secolo scorso ovvero, da quando si cercò di trovare risposta agli interrogativi di David Hilbert posti al congresso del 1900 che si tenne a Parigi. Tra i 23 principali problemi che Hilbert delineò come i più importanti per la matematica del tempo, il secondo tra questi è noto come quello della consistenza dell’aritmetica. In altre parole, se fosse possibile dimostrare con metodi “elementari” che gli assiomi dell’aritmetica non permettono di derivare al tempo stesso un’affermazione e la sua negazione, ossia che il principio di non contraddizione fosse rispettato dai postulati della “grammatica della matematica” (l’aritmetica). Per rispondere con precisione a questa domanda, la comunità scientifica fu posta davanti alla necessità di dare una definizione precisa della nozione di “algoritmo” o “procedimento meccanico” o “funzione calcolabile”.

Nei primi trent’anni del secolo scorso (principalmente tra gli anni ’20 e gli anni ’30) vennero sviluppate della comunità scientifica svariate teorie sul miglior metodo per rappresentare il ragionamento dietro al calcolo umano. Tra le più importanti si annoverano il modello delle funzioni ricorsive, la macchina di Turing ed il lambda-calcolo. La scoperta di notevole rilevanza scientifica è che, pur con caratteristiche estremamente diverse, sia come sviluppo che come punti di partenza, tutti e tre questi modelli (e peraltro tutti i modelli di calcolo noti) portano alla stessa nozione di calcolabilità. Dopo aver sviluppato i fondamenti della teoria della calcolabilità, la comunità scientifica fu in grado di dare risposta al secondo problema di Hilbert. La soluzione mise in luce uno dei fenomeni più rilevanti scoperti dalla logica del’900: l’incompletezza (di Gödel). In sintesi, e non senza banalizzare questo risultato, riporto qui l’essenza dei teoremi di incompletezza:

  • Il primo teorema di incompletezza dimostra che qualsiasi sistema che permette di definire i numeri naturali è necessariamente incompleto: esso contiene affermazioni di cui non si può dimostrare né la verità né la falsità.
  • Il secondo teorema di incompletezza asserisce che se un sistema assiomatico può dimostrare la sua stessa coerenza, allora esso deve essere incoerente.

Il primo teorema può essere parafrasato dicendo che “non è possibile costruire un sistema assiomatico omnicomprensivo che sia allo stesso tempo in grado di provare tutte le verità matematiche, e nessuna falsità”. Come ripercussione pratica, possiamo portare un esempio dal mondo informatico: è possibile, in linea teorica, scrivere un algoritmo che possa generare ogni dimostrazione valida di un sistema logico (in tempo indeterminato). La questione dunque è se sia possibile scrivere un programma per computer in grado di determinare con certezza se una certa affermazione sia vera o falsa ad un certo punto. Il teorema di Gödel dimostra che ciò, in generale, non è possibile.

Appare dunque chiaro come questi risultati abbiano profondamente scosso e minato tutta la filosofia del Novecento, andando completamente a distruggere la concezione positivista che fino ad allora aleggiava attorno alla scienza, accodandosi e rafforzando il relativismo che era andato insidiandosi a partire da Einstein e Schrodinger. Non solo si era dimostrato che in “fisica”, nella realtà, si dovesse cedere al non sapere, ora la matematica aveva dimostrato che nel ragionamento logico talvolta non è possibile arrivare ad alcuna soluzione e serva, effettivamente, una scelta “irrazionale” (non logica, almeno). Ancora più del positivismo, le conseguenze dell’incompletezza influenzano tutta la filosofia della matematica, e in particolare alcune sue scuole di pensiero, come il formalismo, che basa la definizione dei suoi principi sulla logica formale.

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